Curvas de Elevação

    Modernamente, a partir da necessidade de alta performance, dinâmica e cinemática, em máquinas industriais e na indústria automobilística em geral, a construção dos mecanismos do tipo came-seguidor demanda alta tecnologia e, principalmente um alto nível de precisão matemática nas características das curvas de elevação, velocidade e aceleração. Devido ao fato de o seguidor ter movimento alternado, um cuidado maior se faz necessário nas expressões e diagramas da aceleração e do “jerk”, de formas a evitar problemas dinâmicos no seguidor, tais como choques e vibrações e, nos sistemas em que a velocidade é mais elevada isto se torna crítico. Desta forma, tanto Norton quanto Rothbart colocam em desuso, para os dias de hoje, curvas clássicas de elevação tais como a “parábola”, a “harmônica”, a “cúbica” e até mesmo a “cicloide” que no passado eram bastante utilizadas.

    Também as novas tecnologias de medição, fabricação e análise permitem que hoje possamos desenvolver mecanismos mais eficientes de forma mais rápida e econômica. Em particular, no caso dos mecanismos de came, figura 1, a busca desta eficiência começa pelo desenvolvimento de novas curvas de elevação cujos diagramas tenham sempre uma suavidade, principalmente nas curvas da aceleração e aceleração segunda, garantindo uma geometria no contorno do came que não propiciará choques ou vibrações ao seguidor.

Figura 1 – Mecanismos de Came

1. Diagramas de Elevação Mais Usados

    As necessidades da indústria, de forma geral, por mecanismos de came toma como base um levantamento inicial sobre as posições e tempos do seguidor em um ciclo completo de giro do came, com isto são traçados os gráficos de posicionamento do seguidor no tempo ou em função do ângulo de giro do came para uma melhor simplificação da análise. Basicamente suprindo muito bem todas as necessidades. Os tipos mais comuns de gráficos podem ser vistos nas figuras 2 e 3 abaixo.

Figura 2 – Diagramas Elevação-Retorno (E-Rt) e Elevação-Retorno-Repouso (E-Rt-Rp).
Figura 3 – Diagramas Elevação-Repouso-Retorn (E-Rp-Rt) e Elevação-Repouso-Retorno-Repouso (E-Rp-Rt-Rp).

    Os gráficos da figura 2, são conhecidos como curva E-Rt – Elevação-Retorno e curva E-Rt-Rp – Elevação-Retorno-Repouso, já na figura 3, temos os gráficos E-Rp-Rt – Elevação-Repouso-Retorno e E-Rp-Rt-Rp – Elevação-Repouso-Retorno-Repouso. O Norton se refere aos casos E-Rt-Rp e E-Rp-Rt como Simples Repouso e para o caso E-Rp-Rt-Rp como Duplo Repouso. As figuras 4 e 5, abaixo mostram uma animação dos dois casos para que se tenha um melhor entendimento do como funciona na prática.

Figura 4 – Exemplo animado do Diagrama de Simples Repouso.

Figura 5 – Exemplo animado do Diagrama Duplo Repouso.
Um caso muito interessante nos gráficos de Simples Repouso ocorre quando o ângulo de elevação tem o mesmo valor do ângulo de retorno ambos com a mesma curva para elevação e retorno – situação esta que mais ocorre na prática – pois ai é possível se utilizar qualquer curva que tenha jerk nulo no seu início ou final com a garantia de que não haverá choques ou perturbações no movimento do seguidor ao longo de um ciclo completo. Nas curvas clássicas apenas a Dupla Harmônica, figura 6, supre este requisito, dai o fato de o Norton reprovar todas as outras curvas. Para a situação de Duplo Repouso, apenas a curva polinomial do tipo 4-5-6-7 pode ser utilizada, pois esta tem jerk nulo no seu início e final.
Figura 6 – Diagramas para a Dupla Harmônica

    É neste sentido que iremos estudar as curvas de elevação, procurando minimizar o problema do jerk tanto no início quanto no final da elevação.

2. Normalização de Funções

    Normalmente, consideramos que um função está em seu estado natural quando ela é escrita na sua forma mais simplificada possível, queremos dizer sem coeficientes de multiplicação, à função ou ao seu argumento e, neste caso não nos importamos com o seu domínio ou o contradomínio, podendo os mesmos serem livres ou arbitrados.

    Vamos considerar que um função está em seu estado normalizado quando ela, através de operações de expansão, ou contração, nas direções horizontal e vertical tiver o seu domínio em \([0,1]\), bem como também o seu contradomínio em \([0,1]\). Como um exemplos simples, podemos considerar as funções abaixo quando definidas no domínio \([0,1]\). \[\begin {equation*} \begin{array}{l} f(x)=x^2\\ f(\alpha)=\frac{1}{2}(1-\cos(\pi \alpha))\\ f(\theta)=3\theta^2-2\theta^3\\ f(\theta)=\frac{1}{3}\tan^2{\frac{\pi}{3}\theta} \end{array} \end {equation*}\]

     Perceba que, para todas as funções acima, \(f(0)=0\) e \(f(1)=1\), característica principal de uma função no estado normalizado.

    Quando se trata de curvas de elevação, no intuito de se analisar choques ou perturbações no movimento do seguidor, decorrentes de imperfeições “matemáticas” no contorno do came, se faz necessária a análise de cada derivada da curva, não só graficamente, como também analiticamente observando o valor das funções em diversos pontos – somente a visualização gráfica não é suficiente – e esta tarefa fica bastante simplificada quando efetuada nas funções normalizadas, pelo fato de serem elas uma simplificação das funções originais que preservam tudo das mesmas, a sua verificação condiz exatamente com o que acontece de forma real, a menos de um fator de escala que não tem importância numa primeira análise.

    Esta é uma nova forma de abordagem para obtenção, não só das curavas clássicas e seus estudos, como também de novas curvas, ou seja efetuamos todas as análises sobre a curva normalizada para só então, após a certeza de que é uma curva eficiente, se chegar à curva final através das operações de expansão horizontal e vertical vistas no item “Transformações em Gráficos de Funções”.

3. Elevação e Retorno

    Antes de tudo, cabe enfatizar que quando nos referimos à elevação ou ao retorno, ou especificamente curvas de elevação e retorno, estamos nos referindo ao movimento do seguidor, a despeito de estas curvas servirem de base para a geração do contorno do came, portanto a curva inicial diz respeito ao deslocamento do seguidor, a sua derivada diz respeito à velocidade do seguidor, a sua segunda derivada vai predizer a aceleração do seguidor e a sua terceira derivada, que aqui chamaremos de aceleração segunda, nos fornece informações importantes sobre perturbações no seguidor, particularmente, se detectarmos descontinuidades no gráfico desta função (aceleração segunda), isto trará como consequência choques ao movimento do seguidor nestas descontinuidades, nestes pontos nós iremos dizer que houve “jerk“, termo em inglês utilizado para, no caso específico de mecanismos de came, denotar choque.

Fique esperto: No jargão dos mecanismos de came, alguns autores utilizam o termo JERK para descrever a aceleração segunda, porém o entendimento correto é que o jerk só ocorre nos pontos de descontinuidade desta curva.

    Para a análise do jerk, a nossa preocupação, na curva da aceleração segunda, se fará no ponto em que o seguido sai do repouso e passa a se elevar (início da curva de elevação), no ponto onde este atinge a sua maior velocidade (ponto de máximo na curva de velocidade) e no ponto em que ele sai da elevação e passa ao repouso (final da curva de elevação). A lei fundamental do projeto de cames (LFPC) permite que haja jerk nestes três pontos, desde que estes sejam finitos, porém há que se considerar que para velocidades angulares muito elevadas do came, isto trará como consequência vibrações e instabilidade ao movimento do seguidor tornando o mecanismo inviável. Segundo o Norton, a LFPC exige que as funções de elevação para o seguidor devam ser contínuas em sua primeira e segunda derivadas – velocidade e aceleração – em todo o seu intervalo. Como consequência o jerk deve ser finito no intervalo de elevação e, naturalmente que a velocidade é nula no início e final da elevação, significando que a curva de deslocamento assintota a horizontal no seu início e final, figura 7.

Figura 7 – Formato padrão de curva de elevação segundo a LFPC.

    Na sua forma geral, a curva de elevação deverá prever um ângulo de rotação do came, em que o seguidor vai de sua posição mais inferior à sua nova posição no topo da elevação, à esta altura deslocada, chamaremos \(h\), altura de elevação, e para isto o came efetuou uma rotação angular de \(\beta\), ângulo de elevação. A curva referente à elevação, para este situação pode ser vista, então, na figura 8 abaixo.

Figura 8 – Curva de elevação para um ângulo \(\beta\) de giro no came.

    No item 1 deste nosso estudo, vimos que os diagramas de elevação, além do trecho de elevação, propriamente dito, preveem também um trecho de retorno em alguma fase do movimento, nós aqui iremos analisar, no que diz respeito aos gráficos de elevação, os deslocamentos, velocidades acelerações e acelerações segundas para cada um deles, mas apenas o trecho da elevação, para os trechos onde houverem retorno, nós iremos derivar estes gráficos a partir da elevação estudada, pela aplicação das operações de espelhamentos e deslocamentos já vistas anteriormente. ou seja, tendo o gráfico de elevação já estudado, vamos obter o seu equivalente gráfico de retorno pela aplicação de um espelhamento em \(y\), seguido de um deslocamento horizontal de \(\beta\). Fica claro então, que se a função de elevação original é \(f(\theta)\), a sua correspondente função de retorno será \(g(\theta)\), dada por:

\[\begin {equation} g(\theta)=f(\beta-\theta) \end {equation}\]

    Uma outra possibilidade seria \(g(\theta)=h-f(\theta)\), aqui descartada por propiciar o surgimento de jerk quando da conexão da curva de elevação com a curva de retorno ao final da elevação do seguidor, para a grande maioria dos tipos de curvas.

3.1. Relação temporal angular

    Quando relatamos deslocamento do seguidor com consequente velocidade e aceleração, somos levados a concluir que a curva de elevação deveria ser um função do tempo e não do ângulo do came, como estamos tratando até então. Isto é correto, porém é mister notar que o ângulo de rotação do came é uma função do tempo e então de forma indireta isto já está sendo considerado e a velocidade e aceleração real do seguidor pode ser obtida de forma direta utilizando-se a regra da cadeia para funções com o argumento dependente de outras variáveis, vejamos:

\[\begin {equation} y=f(\theta) \end {equation}\]

    Com \(\theta=q(t)\), então:

\[\begin {equation*} \frac{dy}{dt}=\dot y=\frac{df(\theta)}{dt}=\dot \theta \frac{df(\theta)}{d\theta}=f'(\theta)\dot \theta \end {equation*}\]

    Qual seja:

\[\begin {equation} \dot y=f'(\theta)\dot \theta \end {equation}\]

    Da mesma forma, derivando sucessivamente, vamos obter:

\[\begin {equation} \ddot y=f’’(\theta){\dot \theta}^2\\ \dddot y=f’’’(\theta){\dot \theta}^3 \end {equation}\]

Observação: Em nossos estudos iremos considerar sempre que o came tem velocidade angular constante, ou seja sempre \(\ddot \theta=0\).

4. Curvas de Elevação Clássicas

    Como já mencionado acima, a análise das curvas e de suas derivadas será facilitada se trabalharmos com a função normalizada então, neste item nós iremos obter inicialmente a função normalizada e suas derivadas, para só então calcular a função de elevação final pela expansão horizontal de \(\beta\), seguida de expansão vertical de \(h\), isto pode ser feito de forma bastante simplificada quando já dispomos da forma normalizada, com efeito é o bastante que multipliquemos a função normalizada por \(h\) e dividamos o seu argumento por \(\beta\). Seja então \(p(\theta)\) a função na forma normalizada e desejamos obter \(f(\theta)\) na forma final, teríamos então:

\[\begin {equation} f(\theta)= h\cdot p(\frac{\theta}{\beta}) \end {equation}\]

    Nossa análise final se fará na função da aceleração e da aceleração segunda, esta última nos informado a presença de jerk ou não. Com isto iremos montar as tabelas comparativas de desempenho das funções, e esta comparação só será possível se utilizarmos funções normalizadas para todas as curvas em estudo.

4.1. Curva Parabólica

    Para obtenção da função em sua forma normalizada, partiremos de duas parábolas \(p(x)\) no intervalo \([0,a]\) e \(q(x)\) no intervalo \([0,b]\) de tal forma que \(a+b=1\), figura 9.

\[\begin {equation*} p(x)=k_a x^2\\ q(x)=k_b x^2 \end {equation*}\]
Figura 9 – Funções iniciais para a determinação da Curva Parabólica.

    Onde \(k_a\) e \(k_b\) são fatores a determinar.

    Na sequencia, vamos efetuar um espelhamento vertical, seguido de um espelhamento horizontal, da função \(q(x)\) e, logo após um deslocamento horizontal de \(a+b\), seguido de um deslocamento vertical de \(1\). A função \(q(x)\) se transforma em \(q_a(x)=1-k_b (1-x)^2\) e teremos agora a função total, quase final, dada por:

\[\begin {equation*} r(x)=\left \{ \begin {array}{lcr} p_a(x)=k_a x^2 & para & 0 \leq x < a\\ q_b(x)=1-k_b (1-x)^2 & para & a \leq x \leq 1 \end {array}\right. \end {equation*}\]
Figura 10 – Função \(r(x)\) obtida da composição de \(p_a(x)\) e \(q_b(x)\).

    Considerando agora que no ponto \(a\), tanto \(r(x)\) quanto a sua derivada têm que ser contínuas, vamos ter:

\[\begin {equation*} \begin {array}{rcl} k_a a^2 & = & 1-k_b (1-a)^2\\ 2k_a a & = & 2k_b (1-a) \end {array} \end {equation*}\]

    E, lembrando que \(1-a=b\), vem:

\[\begin {equation*} \begin {array}{rcl} k_a a^2 & = & 1-k_b b^2\\ k_a a & = & k_b b \end {array} \end {equation*}\]

    Da segunda equação obtemos \(k_a=\frac{b}{a}k_b\) que substituindo na primeira fornece:

\[\begin {equation} k_b = \frac{1}{b} \end {equation}\]

    E então:

\[\begin {equation} k_a = \frac{1}{a} \end {equation}\]

    Desta forma, a função \(r(x)\) foi completamente normalizada e agora a chamaremos de \(f(x)\), sendo:

\[\begin {equation} f(x)=\left \{ \begin {array}{lcl} \frac{x^2}{a} & para & 0 \leq x < a\\ 1-\frac{1}{b} (1-x)^2 & para & a \leq x \leq 1 \end {array}\right. \end {equation}\]

    Derivando (8), vamos obter a velocidade:

\[\begin {equation} f'(x)=\left \{ \begin {array}{lcl} \frac{2x}{a} & para & 0 \leq x < a\\ \frac{2}{b} (1-x) & para & a \leq x \leq 1 \end {array}\right. \end {equation}\]

    Agora derivando (9), vamos obter a aceleração:

\[\begin {equation} f’’(x)=\left \{ \begin {array}{rcl} \frac{2}{a} & para & 0 \leq x < a\\ -\frac{2}{b} & para & a \leq x \leq 1 \end {array}\right. \end {equation}\]

    Finalmente derivando  (10), vamos obter a aceleração segunda:

\[\begin {equation} f’’’(x)=0 \quad \text{no intervalo} \quad ]0,a[\;\cup\; ]a,1[ \end {equation}\]

    Perceba que fora deste intervalo, ou seja nos pontos \(0, a\) e \(1\) a função \(f’’’(x)\) torna-se indefinida. De uma forma não muito correta, dizemos que ela tende a infinito positivo nos pontos \(0\) e \(1\) e vai para infinito negativo no ponto \(a\), em outras palavras, sempre que isto acontecer (indefinição de \(f’’’(x)\) em algum ponto) podemos afirmar que a curva não satisfez à LFPC e portanto não se adapta ao projeto de cames nos dias de hoje.

    A figura 11, abaixo mostra, em detalhes os gráficos para o deslocamento, velocidade, aceleração e aceleração segunda, para este caso.

Figura 11 – Diagramas de deslocamento, velocidade, aceleração e “aceleração segunda” para a parábola.

    Nesta análise, nós utilizamos \(a=\frac{1}{3}\) e obtivemos um valor máximo de \(2\) para a velocidade e de \(6\) para a aceleração, se utilizássemos \(a=\frac{1}{2}\), equilibrando a aceleração no início e no final, iríamos obter ainda \(2\) para a velocidade e de \(4\) para a aceleração, estes os valores que iremos considerar na comparação futura entre as diversas funções.

Parabólica não normalizada

    Considerando para toda a elevação um ângulo \(\beta\) e uma altura \(h\), já vimos que a função real pode ser obtida da função normalizada pela multiplicação desta por \(h\) juntamente com a divisão de seu argumento por \(\beta\), então a função real será:

\[\begin {equation*} g(x)=h\cdot f(\frac{x}{\beta}) \end {equation*}\]

    Ou seja, denominando \(f(\theta)\) para a função real:

\[\begin {equation*} f(\theta)=\left \{ \begin {array}{lcl} \frac{h}{a}(\frac{\theta}{\beta})^2 & para & 0 \leq \theta < a\\ h-\frac{h}{b} (1-\frac{\theta}{\beta})^2 & para & a \leq \theta \leq 1 \end {array}\right. \end {equation*}\]

    Posto sob uma forma mais conveniente:

\[\begin {equation} f(\theta)=\left \{ \begin {array}{lcl} \frac{h}{a \beta^2}\theta^2 & para & 0 \leq \theta < a\\ h-\frac{h}{b \beta^2} (\beta-\theta)^2 & para & a \leq \theta \leq 1 \end {array}\right. \end {equation}\]

    É evidente aqui que o nosso ângulo de elevação \(\beta\) será a soma de um \(\beta_a\) mais um \(\beta_b\) correspondentes a \(a\) e \(b\), de tal forma que:

\[\begin {equation*} \frac{\beta_a}{\beta_b}=\frac{a}{b} \end {equation*}\]

    Consequentemente:

\[\begin {equation*} \frac{\beta_a + \beta_b}{\beta_b}=\frac{a+b}{b}\quad \Rightarrow \quad\frac{\beta}{\beta_b}=\frac{1}{b} \end {equation*}\]

    Que nos leva a:

\[\begin {equation} b=\frac{\beta_b}{\beta} \end {equation}\]

    E, da mesma forma:

\[\begin {equation} a=\frac{\beta_a}{\beta} \end {equation}\]

    Agora, substituido (13) e (14) em (12) vamos obter a expressão final para a curva parabólica real:

\[\begin {equation} f(\theta)=\left \{ \begin {array}{lcl} \frac{h}{\beta_a \beta}\theta^2 & para & 0 \leq \theta < \beta_a\\ h-\frac{h}{\beta_b \beta} (\beta-\theta)^2 & para & \beta_a \leq \theta \leq \beta \end {array}\right. \end {equation}\]

4.2. Curva Harmônica

    No item 3 desse nosso estudo, a LFPC nos informa que funções em forma de “S”, com assíntota horizontal em seus extremos (derivada nula), figura 7, são fortes candidatas a curva de elevação, tomemos então a função cosseno no intervalo \([0,\pi]\)  que, como sabemos, tem derivada nula no princípio e final deste intervalo.

Figura 12 – Função cosseno original.

    Funções de elevação, além de ter derivada nula nos extremos, iniciam-se na origem e são positivas em todo o seu domínio, nós vamos conseguir isto efetuando um espelhamento horizontal na função cosseno seguido de um deslocamento vertical de \(1\), obtendo \(f(x)=1-\cos x\), como mostrado na figura 13, abaixo.

Figura 13 – Função cosseno transformada para curva de elevação.

    Para o nosso estudo, só nos resta normalizá-la e, para isto vamos vamos usar \(\frac{1}{2}\) para fator de multiplicação da função e \(\frac{\pi}{1}\) para multiplicação do argumento, obtemos então:

\[\begin {equation} f(x)=\frac{1}{2}(1-\cos{\pi x}) \end {equation}\]

    Desta forma as derivadas sucessivas são imediatas:

\[\begin {equation} f’(x)=\frac{\pi}{2}\sin{\pi x}\\ f’’(x)=\frac{\pi^2}{2}\cos{\pi x}\\ f’’’(x)=-\frac{\pi^3}{2}\sin{\pi x} \end {equation}\] E temos os diagramas das diversas derivadas mostrado a seguir na figura 14.
Figura 14 – Diagramas de deslocamento, velocidade, aceleração e “aceleração segunda” para a Harmônica.

    Aqui, os valores máximos para velocidade, aceleração e jerk, são \(\frac{\pi}{2}=1,571\), \(\frac{\pi^2}{2}=4,935\) e \(-\frac{\pi^3}{2}=-15,503\), respectivamente, no entanto, o último valor é apenas uma referência uma vez que a aceleração segunda foi para infinito nos extremos, inviabilizando o uso da função harmônica.

Harmônica não normalizada

   Como a função real pode ser obtida da função normalizada pela multiplicação desta por \(h\) juntamente com a divisão de seu argumento por \(\beta\), aplicando-se à equação 16, é imediato:

\[\begin {equation} f(\theta)=\frac{h}{2}(1-\cos{\frac{\pi}{\beta}\theta}) \end {equation}\]

4.3. Curva Cicloidal

    Ainda buscando funções em forma de “S”, imaginemos a função senoidal conjugada com a função identidade da seguinte forma:

\[\begin {equation*} f(x)=x-\sin x \end {equation*}\]
Figura 15 – Função identidade e função seno no intervalo \([0,2\pi]\).

    No intervalo \([0,2\pi]\), temos a derivada unitária nos dois extremos para a função \(sin x\) e, para a função \(f(x)=x\) isto ocorre em todo o domínio, logo nos extremos esta conjugação vai demandar em derivada nula, e a função obtida é mostrada no gráfico da figura 16, abaixo.

Figura 16 – Conjugação da função identidade com a função seno.

    Para normalizar esta função, vamos usar \(\frac{1}{2\pi}\) para fator de multiplicação da função e \(\frac{2\pi}{1}\) para multiplicação do argumento, obtemos então:

\[\begin {equation*} f(x)=\frac{1}{2\pi}(2\pi x-\sin {2\pi x}) \end {equation*}\]

    Simplificando mais ainda:

\[\begin {equation} f(x)=x-\frac{1}{2\pi}\sin 2\pi x \end {equation}\]

    Desta forma as derivadas sucessivas são imediatas:

\[\begin {equation} f’(x)=1-\cos {2\pi x}\\ f’’(x)=2\pi\sin{2\pi x}\\ f’’’(x)=4\pi^2\cos{2\pi x} \end {equation}\]

    E, nos diagramas abaixo, figura 17, podemos ver que não houve jerk infinito, apesar de haver descontinuidade nos extremos da aceleração segunda.

Figura 17 – Diagramas de deslocamento, velocidade, aceleração e “aceleração segunda” para a curva cicloidal.

    Agora, os valores máximos para velocidade, aceleração e jerk, são \(2\), \(2\pi=6,283\) e \(4\pi^2=39,478\), respectivamente, e aqui, o último valor é importantíssimo para uma comparação da aceleração segunda com outras curvas similares.

Cicloide não normalizada

    Como a função real pode ser obtida da função normalizada pela multiplicação desta por \(h\) juntamente com a divisão de seu argumento por \(\beta\), aplicando-se à equação 19, é imediato:

\[\begin {equation} f(\theta)=h(\frac{\theta}{\beta}-\frac{1}{2\pi}\sin {\frac{2\pi}{\beta} \theta}) \end {equation}\]

4.4. A Dupla Harmônica

     Compondo, no intervalo \([0,\pi]\) a função \(f(x)=1-\cos x\) com a função \(g(x)=1-\cos 2x\) de forma a que tenhamos um quarto da última subitraido da primeira, vamos ter:

\[\begin {equation} f(x)=1-\cos x – \frac{1}{4}(1-\cos 2x) \end {equation}\]
Figura 18 – Funções para composição no intervalo \([0,\pi]\).

    Aqui, as derivadas nos extremos do intervalo \([0,\pi]\), já eram nulas, não afetando o resultado final que também vai ter derivadas nulas nos dois extemos, a função obtida, desta subtração, é mostrada no gráfico da figura 19, abaixo.

Figura 19 – Conjugação das duas funções a partir de uma subtração.

    A normalização, como nos casos anteriores, vai usar \(\frac{1}{2}\) para fator de multiplicação da função e \(\frac{\pi}{1}\) para multiplicação do argumento, obtemos então:

\[\begin {equation} f(x)=\frac{1}{2}[1-\cos {\pi x} – \frac{1}{4}(1-\cos {2\pi x})] \end {equation}\]

    Desta forma as derivadas sucessivas são imediatas:

\[\begin {equation} f’(x)=\frac{\pi}{2}(\sin {\pi x}-\frac{1}{2}\sin {2\pi x})\\ f’’(x)=\frac{\pi^2}{2}(\cos {\pi x}-\cos {2\pi x})\\ f’’’(x)=-\frac{\pi^3}{2}(\sin {\pi x}-2\sin {2\pi x}) \end {equation}\]

    E, nos diagramas abaixo, figura 20, podemos ver que não houve jerk no início da elevação e que este é finito ao seu final. Há de se enfatizar aqui que o ideal seria jerk nula também ao final da elevação, mas isto não inviabiliza a importância desta curva, pois se compormos a elevação com a sua correspondente curva de retorno este jerk vai se anular nos casos em que o ângulo de elevação é igual ao ângulo de retorno, situação esta muito utilizada na prática.

Figura 20 – Diagramas de deslocamento, velocidade, aceleração e “aceleração segunda” para a Dupla Harmônica.

    Agora, os valores máximos para velocidade, aceleração e jerk, são \(2.041\), \(-\pi^2=-9,87\) e \(-42,414\), respectivamente, e como no último exemplo, o último valor é importantíssimo para uma comparação da aceleração segunda com outras curvas similares.

Dupla Harmônica não normalizada

    Como a função real pode ser obtida da função normalizada pela multiplicação desta por \(h\) juntamente com a divisão de seu argumento por \(\beta\), aplicando-se à equação 23, é imediato:

\[\begin {equation} f(\theta)=\frac{h}{2}[1-\cos {\frac{\pi}{\beta} \theta} – \frac{1}{4}(1-\cos {\frac{2\pi}{\beta} \theta})] \end {equation}\]

5. Curvas Polinomiais

     Uma outra família de curvas que podem ser utilizadas, como curvas de elevação, se constituem nas expressões polinomiais do tipo $u(x)=a_o+a_1 x +a_2 x^2 +a_3 x^3 +a_4 x^4 +a_5 x^5+\cdots+a_n x^n$, notando que, para que a curva polinomial obedeça à LFPC, o primeiro coeficiente não nulo vai corresponder à potência 3, ou seja $a_o=0$, $a_1=0$, $a_2=0$, também vamos perceber que polinômios cuja última potência esteja acima de 7, apesar de serem viáveis, vai demandar em valores máximos de aceleração aceleração segunda (tabela 1 abaixo) muito elevados, inviabilizando-as para uso em projetos reais.

    A obtenção de determinada curva polinomial pode ser feita inicialmente a partir da normalização do polinômio procurado, considerando que, como condições de contorno, este tem que ter valor unitário no seu extremo direito, valor do polinômio em 1, e valor nulo para todas as derivadas subsequentes, assim:

  • $u(1)=1$
  • $u'(1)=0$
  • $u”(1)=0$
  • $u”'(1)=0

    Assim podemos garantir a ausência de “jerk”, ou perturbação, no final da elevação, um vez que isto já está garantido quando o polinômio se inicia na potência 3 (ausência de jerk) ou quando este se inicia na potência 4 (ausência de perturbação).

    Em nossos estudos iremos designar os polinômios pelas suas potência sequencialmente, na forma A-B, A-B-C, A-B-C-D e assim por diante. Assim, o polinômio $u(x)=10x^3-15x^2+6x^5$, seria designado por 3-4-5 e, como veremos mais adiante os seus coeficientes serão únicos.

5.1 Polinômios do tipo A-B

Aqui, nós iremos procurar curvas de elevação em polinômios do tipo $u(x)=A x^a + B x^b$ e, considerando o polinômio normalizado, aplicando as condições de contorno acima, iremos ter:

\begin{aligned} u(1) &=A+B = 1\\ v(1) &= aA+bB = 0 \end{aligned}

Na equação acima, nós consideramos que $u'(x)$ é a velocidade e o denotamos por $v(x)$. O sistema de equações lineares acima pode ser colocado em forma matricial:

\begin{bmatrix} 1&1 \\ a&b \end{bmatrix}\cdot \begin{Bmatrix} A \\ B \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} 1 \\ 0 \end{Bmatrix}

Cuja solução será:

\begin{Bmatrix} A \\ B \end{Bmatrix}=\frac{1}{b-a} \begin{bmatrix} b&-1 \\ -a&1 \end{bmatrix}\cdot \begin{Bmatrix} 1 \\ 0 \end{Bmatrix}

Percebendo que $b=a+1$, consequentemente $b-a=1$, vem:

\begin{Bmatrix} A \\ B \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix} b&-1 \\ -a&1 \end{bmatrix}\cdot \begin{Bmatrix} 1 \\ 0 \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} b \\ -a \end{Bmatrix}

Desta forma, uma curva de elevação do tipo $A x^a+B x^b$, quando normalizada, terá a forma:

u(x)=bx^a-ax^b

5.1.1 Polinômio 3-4

Pela equação acima, este polinômio terá a forma:

u(x)=4x^3-3x^4

Com as seguintes derivadas:

\begin{aligned} v(x)&=12(x^2-x^3)\\ a(x)&=12(2x-3x^2)\\ j(x)&=12(2-6x) \end{aligned}

Figura 21 – Diagramas de deslocamento, velocidade e aceleração para o polinômio 3-4.

Polinômio 3-4 não normalizado

Considerando, para o seguidor, uma altura de elevação $h$ e um ângulo de elevação $\beta$, a normalizada se transforma em:

f(\theta)=h \left [4 \left (\frac{\theta}{\beta} \right )^3-3 \left (\frac{\theta}{\beta} \right )^4 \right ]

5.1.2 Polinômio 4-5

Pela equação acima, este polinômio terá a forma:

u(x)=5x^4-4x^5

Com as seguintes derivadas:

\begin{aligned} v(x)&=20(x^3-x^4)\\ a(x)&=20(3x^2-4x^3)\\ j(x)&=120(x-2x^2) \end{aligned}

Figura 22 – Diagramas de deslocamento, velocidade e aceleração para o polinômio 4-5.

Polinômio 4-5 não normalizado

Considerando, para o seguidor, uma altura de elevação $h$ e um ângulo de elevação $\beta$, a normalizada se transforma em:

f(\theta)=h \left [5 \left (\frac{\theta}{\beta} \right )^4-4 \left (\frac{\theta}{\beta} \right )^5 \right ]

5.2 Polinômios do tipo A-B-C

Agora, vamos procurar curvas de elevação em polinômios do tipo $u(x)=A x^a + B x^b + C x^c$, como indicado anteriormente, vamos considerar este polinômio normalizado e aplicar as condições de contorno indicadas, vamos obter:

\begin{aligned} u(1) &=A+B+C = 1\\ v(1) &= aA+bB+cC = 0\\ a(1) &= a(a-1)A+b(b-1)B+c(c-1)C = 0 \end{aligned}

Matricialmente:

\begin{bmatrix} 1&1&1 \\ a&b&c \\ a(a-1)&b(b-1)&c(c-1) \end{bmatrix}\cdot \begin{Bmatrix} A \\ B \\ C \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{Bmatrix}

Pela equação acima é fácil perceber que a solução será a primeira coluna da matriz inversa, ou seja:

\begin{Bmatrix} A \\ B \\ C \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} \frac{bc}{(c-a)(b-a)} \\ \frac{ac}{(a-b)(b-c)} \\ \frac{ab}{(c-a)(c-b)} \end{Bmatrix}

Lembrando que $b-a=1$, $c-b=1$ e $c-a=2$, na eququação acima, vamor obter finalmente:

\begin{Bmatrix} A \\ B \\ C \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} \frac{bc}{2} \\ -ac \\ \frac{ab}{2} \end{Bmatrix}

Desta forma, uma curva de elevação do tipo $A x^a+B x^b+C x^c$, quando normalizada, terá a forma:

u(x)=\frac{bc}{2}x^a-ac\,x^b+\frac{ab}{2}x^c

5.2.1 Polinômio 3-4-5

Pela equação acima, este polinômio terá a forma:

u(x)=10x^3-15x^4+6x^5

Com as seguintes derivadas:

\begin{aligned} v(x)&=30(x^2-2x^3+x^4)\\ a(x)&=60(x-3x^2+2x^3)\\ j(x)&=60(1-6x+6x^2) \end{aligned}

Figura 23 – Diagramas de deslocamento, velocidade e aceleração para o polinômio 3-4-5.

Polinômio 3-4-5 não normalizado

Considerando, para o seguidor, uma altura de elevação $h$, a partir de um ângulo de elevação $\beta$ no came, a normalizada se transforma em:

f(\theta)=h \left [10 \left (\frac{\theta}{\beta} \right )^3-15 \left (\frac{\theta}{\beta} \right )^4+6 \left (\frac{\theta}{\beta} \right )^5 \right ]

Qualidade do Polinômio 3-4-5

O gráfico da figura 23, focando-se na aceleraçãol, deixa explícito que esta curva polinomial se compara à curva cicloidal, pois não há jerk nem no início da elevação e nem no final.

Para este caso os valores máximos de velocidade, aceleração e aceleração segunda, foram $1,88$, $5,77$ e $60$ respectivamente. Fazendo a comparação, com a curva cicloidal, na tabela 1, abaixo, vemos que a curva se coloca de forma competitiva, porém perdendo na aceleração segunda que é um pouco elevada.

5.2.2 Polinômio 4-5-6

Pela equação acima, este polinômio terá a forma:

u(x)=15x^4-24x^5+10x^6

Com as seguintes derivadas:

\begin{aligned} v(x)&=60(x^3-2x^4+x^5)\\ a(x)&=60(3x^2-8x^3+5x^4)\\ j(x)&=120(3x-12x^2+10x^3) \end{aligned}

Figura 24 – Diagramas de deslocamento, velocidade e aceleração para o polinômio 4-5-6.

Polinômio 4-5-6 não normalizado

Considerando, para o seguidor, uma altura de elevação $h$, a partir de um ângulo de elevação $\beta$ no came, a normalizada se transforma em:

f(\theta)=h \left [15 \left (\frac{\theta}{\beta} \right )^4-24 \left (\frac{\theta}{\beta} \right )^5+10 \left (\frac{\theta}{\beta} \right )^6 \right ]

Qualidade do Polinômio 4-5-6

    O gráfico da figura 24, focando-se na aceleração, deixa explícito que esta curva polinomial se compara à dupla harmônica, porém tendo um ganho significativo junto à esta pelo fato de não apresentar jerk em seu final, havendo ai apenas perturbação.

    Para este caso os valores máximos de velocidade, aceleração e aceleração segunda, foram $2,07$, $8,14$ e $44,87$ respectivamente. Fazendo a comparação, com a curva dupla harmônica, na tabela 1, abaixo, vemos que a curva se coloca de igual para igual com esta, porém sendo muito melhor devido ao fato de não apresentar jerk ao final. Com relação ao polinômio 4-5-6-7 esta vai perder apenas pelo fato de apresentar perturbação ao seu final da elevação.

6. Comparativo entre as Curvas

    Com base nos valores máximos de velocidade, aceleração e aceleração segunda, podemos compor a seguinte tabela.

Curva Velocidade máxima Aceleração máxima Aceleração Segunda máxima Observação
Parabólica 2 6 Jerk inclusive na inflexão
Harmônica 1,57 4,94 Jerk nos extremos
Cicloidal 2 6,28 39,48 Atende à LFPC
Dupla Harmônica 2,04 9,87 42,41 Atende à LFPC
Polinômio 3-4-5 1,88 5,77 60,00 Atende à LFPC
Polinômio 4-5-6 2,07 8,14 44,87 Atende à LFPC
Polinômio 4-5-6-7 2,19 7,38 52,50 Atende à LFPC

7. Exercícios

1. Dentro do domínio fornecido, verifique a possibilidade das funções abaixo poderem ser usadas como curva de elevação e, caso positivo, para cada caso normaliza-as e faça a análise nos gráficos da aceleração e do jerk.
  1. \(f(x)=\displaystyle \frac{x^2}9-\frac{x^3}{27}\) no domínio \([0,2]\);
  2. \(f(x)=\displaystyle x^3-x^4\) no domínio \([0,\displaystyle \frac34]\);
  3. \(f(x)=\displaystyle \frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{20}\) no domínio \([0,2]\);
  4. \(f(x)=\displaystyle 2-2\cos x-\sin^2 x\) no domínio \([0,\pi]\)
Determine ainda a função real de elevação para um ângulo \(\beta\) e uma altura \(h\) de cada uma delas. 2. Sabendo que a função \(f(x)=\displaystyle a_4 x^4-a_5 x^5+a_6 x^6-a_7 x^7\) satisfaz à LFPC no domínio \([0,1]\), determine os coeficientes da normalizada, considerando também que, na extremidade direita (\(x=1\)) a aceleração e o jerk são nulos. 3. Monte a curva total E-Rt-Rp com o ângulo de elevação igual ao de repouso, mesma curva para elevação e retorno, e verifique se haverá jerk em alguma parte da curva para a harmônica e depois para a cicloide. Caso não se consiga, diga com qual curva isto seria possível. 4. Considerando a curva total E-Rp-Rt-Rp, determine qual ou quais curvas poderiam ser utilizadas para, elevação e retorno, garantindo a ausência de jerk em todo o período.