Nos cames radiais de rolos podemos observar um ganho considerável no contato came seguidor, onde substituímos o atrito direto pelo atrito de rolamento que, com uma adequada lubrificação, chega-se a uma eficiência em torno de 98%, porém este tipo de came traz, como desvantagem, o problema do ângulo de pressão que se elevado impossibilita o movimento e também se tem uma perda na eficiência quando o movimento se verifica próximo ao ponto primitivo. A grande vantagem do came de mesa se dá pelo fato de não se ter ângulo de pressão, na verdade este é sempre nulo, isto porque o contato do seguidor com o came é tal que a normal ao contato é sempre paralela ao eixo do seguidor, no entanto este contato se verifica por atrito direto exigindo uma boa lubrificação, sem a qual o mecanismo fica inviabilizado. Mesmo assim, principalmente por questões de custos se tem pouco uso industrial dos cames de mesa, ficando o seu uso quase que totalmente restrito à indústria automobilística, principalmente pelo fato de que a adaptação de um copo em forma de mesa na ponta da válvula, usada em câmara de combustão, é muito mais fácil do que se colocar roletes e exige menos espaço.
Para este tipo de came, a figura 1 mostra a nomenclatura utilizada e é óbvio que não havendo rolete, não se tem curva primitiva e tão pouco circunferência principal, portanto as curvas de elevação e retorno serão traçadas a partir da circunferência de base, que tem raio \(R_o\), para a definição do contorno do came. Na figura podemos ver que o contato da mesa com o seguidor, ponto \(P\), se fará sempre na tangencia da mesa com este.
Figura 1 – Nomenclatura para came de mesa.
2. Ponto de Contato
Para que se minimize o efeito de giro do seguidor em relação ao seu mancal, consequentemente minimizando o problema do engripamento – que veremos mais adiante – se faz com que o eixo do seguidor passe pelo centro de giro \(O\) do came, com isto temos uma distância \(e\) do ponto de contato ao referido eixo.
Uma breve análise desta distancia \(e\) vai mostrar que se o came gira com velocidade \(\dot\theta\), constante, figura 2, o ponto \(A\), que dista de \(e\) do centro de giro \(O\) do came, perpendicularmente ao eixo do seguidor, terá velocidade \(v_A\) sobre a reta \(t\), paralela ao eixo do seguidor, então, pelo teorema da rigidez, o ponto \(P\) pertencente ao came, terá a velocidade \(v_P=v_A\) e como não há afastamento da mesa do seguidor em relação ao came, esta velocidade \(v_P\) também será a velocidade do seguidor, agora sendo:
\[ \begin{equation*}
v_P = f'(\theta) \dot\theta\\
v_A = \dot\theta e
\end{equation*}\]
Obtemos:
\[ \begin{equation}
f'(\theta) \dot\theta = \dot\theta e
\end{equation}\]
Figura 2 – Deslocamento do ponto de contato
De onde concluímos, pela equação (1) que:
\[ \begin{equation}
e = f'(\theta)
\end{equation}\]
Isto sugere que o comprimento da mesa seja a soma da velocidade máxima da elevação com a velocidade máxima do retorno, tendo-se o cuidado de se utilizar a norma para o retorno desde que, neste caso a velocidade é negativa. Na prática se acrescenta 10% a mais de cada lado, ficando o comprimento total \(l\) da mesa igual a:
\[ \begin{equation}
l = 1,1(f'(\theta)+\vert g'(\theta) \vert)
\end{equation}\]
3. Circunferência de Base
Para que o contato mesa seguidor seja sempre suave ao longo da elevação e retorno, não podemos ter cantos vivos no contorno do came, isto é, o raio de curvatura em qualquer ponto \(P\) sobre o contorno do came, figura 3, não pode ser nulo, sob pena de termos um travamento por atrito ai, pois iria configurar o contato de ponto com reta (ou mais especificamente linha com superfície) e isto iria ocasionar uma reação normal indo para infinito com consequente atrito também infinito, portanto isto deve ser evitado ao máximo.
A figura 3 mostra o contorno de um came já definido e indica o raio de curvatura \(\rho\) em um ponto \(P\) qualquer sobre o contorno deste came, esta curvatura é definida por uma arco de circunferência infinitesimal em torno do ponto \(P\), tendo o seu centro no ponto \(O’\), o segmento que vai de \(O\) até \(O’\) tem comprimento \(a\) e forma com o eixo de simetria do came um ângulo \(\alpha\).
Figura 3 – Raio de curvatura \(\rho\) instantâneo em \(P\).
Fique Ligado:
O segmento \(a\), bem como o ângulo \(\alpha\) é constante em qualquer ponto \(P\) e seu correspondente \(O’\) ao longo do contorno, pois o came já está definido e consequentemente o seu contorno.
Vamos agora girar o came de tal forma que tenhamos o contato deste ponto com a mesa do seguidor, como mostra a figura 4 abaixo, para isto estamos supondo que o came já girou de um ângulo \(\theta\) a partir da horizontal. A projeção do segmento \(a\) na horizontal será:
\[ \begin{equation}
a \cos (\theta-\alpha)=f'(\theta)
\end{equation}\]
E, então, derivando-se a expressão (4), em \(\theta\), teremos:
\[ \begin{equation*}
-a\,\text{sen} (\theta-\alpha)=f’’(\theta)
\end{equation*}\]
Ou:
\[ \begin{equation*}
b=a\,\text{sen}(\theta-\alpha)=-f’’(\theta)
\end{equation*}\]
Figura 4 – Curva suave no contato em \(P\).
Vejamos agora pela figura 4, que:
\[ \begin{equation*}
R_o+f(\theta)=b+\rho
\end{equation*}\]
Ou seja:
\[ \begin{equation}
R_o+f(\theta)=-f’’(\theta)+\rho
\end{equation}\]
No que, chegamos finalmente à equação (6):
\[ \begin{equation}
\rho=R_o+f(\theta)+f’’(\theta)
\end{equation}\]
Como, já dissemos acima, devemos ter sempre \(\rho>0\) como garantia de que não haverá cantos vivos no contorno do came, então vamos tomar como base a expressão:
\[ \begin{equation}
R_o+f(\theta)+f’’(\theta)>0
\end{equation}\]
Como garantia de que não haverá cantos vivos no came. Desta forma, o valor de \(R_o\) que irá garantir isto será:
\[ \begin{equation}
R_o>-[f(\theta)+f’’(\theta)]
\end{equation}\]
Fique Ligado:
Atente que nem sempre o lado direito da expressão (8) será negativo, pois a função \(f’’(\theta)\) assume valores negativos após o máximo da função velocidade, fazendo com que esta expressão, na maioria das vezes, seja positiva.
Pelo exposto, concluímos que o valor mínimo para \(R_o\) será obtido procurando-se o máximo na expressão \(-[f(\theta)+f’’(\theta)]\) para \(\theta\) variando de \(\theta_{v_{max}}\) até \(\beta\), onde \(\theta_{v_{max}}\) é o ponto onde ocorre a velocidade máxima.
4. Problema do Engripamento
Na nossa análise vamos considerar que o mancal tem altura \(a\), e distância \(b\) desta à mesa, e que o coeficiente de atrito entre este e o seguidor é \(\mu_1\), também que o coeficiente de atrito entre o came e a mesa é \(\mu_2\). Na figura 5 temos esquematizado o Diagrama de Corpo Livre para o seguidor, aqui ressaltados os pontos \(A\), \(B\) e \(P\) de aplicação das cargas, temos então a carga \(Q\) de trabalho, a força \(T\) aplicada pelo came ao seguidor, no ponto \(P\) de sua mesa e as normais \(N_A\) e \(N_B\) com os seus corresponderes atritos nos pontos \(A\) e \(B\) respectivamente e, ressalte-se ainda a força de atrito \(F_P\) que o came aplica na mesa do seguidor.
Então, neste Diagrama de Corpo Livre, figura 5, vamos inicialmente considerar o equilíbrio de momentos em \(A\) e \(B\) e das forças verticais \(\sum F_y = 0\) obtendo:
\[ \begin{equation}
\begin{array}{rclcl}
\sum M_A=0 & \Rightarrow & T f'(\theta)-N_B a – F_P(a+b) &=& 0 \\
\sum M_B=0 & \Rightarrow & T f'(\theta)-N_A a – F_P b &=& 0 \\
\sum F_y=0 & \Rightarrow & T-(F_A + F_B)-Q &=& 0
\end{array}
\end{equation}\]
Figura 5 – Diagrama de Corpo Livre para o seguidor.
Das duas primeiras equações em (9), nós obtemos:
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
a(N_A+N_B) & = & 2 T f'(\theta)-F_P(a+2b) \\
N_A+N_B & = & \frac{2f'(\theta)}{a} T-\mu_2 T \frac{a+2b}a
\end{array}
\end{equation*}\]
E a última expressão em (9) pode ser reescrita:
\[ \begin{equation*}
T-\mu_1 (\frac{2f'(\theta)}{a} -\mu_2 \frac{a+2b}a)T=Q
\end{equation*}\]
E, finalmente:
\[ \begin{equation}
T=\frac{Q}{1 -\mu_1 (\frac{2f'(\theta)}{a} -\mu_2 \frac{a+2b}a)}
\end{equation}\]
Uma rápida análise na equação (10), mostra que se o denominador for para zero teremos a força \(T\) tendendo a infinito, qualquer que seja o valor da força \(Q\). Isto sugere que nesta condição a força \(T\) não elevará o seguidor, uma vez que por maior que esta seja, ela será finita e teremos ai então a condição de engripamento, ou seja quando:
\[ \begin{equation}
1 -\mu_1 (\frac{2 f'(\theta)}{a} -\mu_2 \frac{a+2b}a)= 0
\end{equation}\]
Teremos o engripamento do seguidor. Então, rearrumando a equação (11) vamos obter:
\[ \begin{equation*}
f'(\theta)=\frac a{2 \mu_1}+\mu_2 \frac{a+2b}2
\end{equation*}\]
Fique ligado:
Para que não haja engripamento, o maior valor para a velocidade \(f'(\theta)\) não deve superar a expressão ao lado direito da equação acima, veja a equação (12) abaixo.
\[ \begin{equation}
f'(\theta)<\frac a{2 \mu_1}+\mu_2 \frac{a+2b}2
\end{equation}\]
\[ \begin{equation}
f'(\theta)<\frac {a}{2} \left [ \frac{1}{\mu_1}+\mu_2 (1+2\frac{b}{a}) \right ]
\end{equation}\]
5. Parametrização do Contorno
Para a obtenção do contorno do came, vamos considerar conhecidas as expressões que compõem a curva completa de elevação e repouso e também o raio da circunferência de base. Desta forma vamos imaginar a inversão em que o seguidor gira ao redor do came, traçando o seu contorno e temos, na figura 6, o momento em que este se deslocou de um ângulo \(\theta\), definido um ponto \(P\) do contorno.
Figura 6 – Inversão em que o seguidor se desloco ao longo do came.
Desta forma, podemos enxergar claramente as equações:
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
f'(\theta) & = & y \cos \theta – x\,\text{sen}\,\theta \\
R_o+f(\theta) & = & y\,\text{sen}\,\theta + x \cos \theta
\end{array}
\end{equation*}\]
Cuja forma matricial é:
\[ \begin{equation*}
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\text{sen}\,\theta\\
\text{sen}\,\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
\begin{Bmatrix}
y\\
x
\end{Bmatrix}=
\begin{Bmatrix}
f'(\theta)\\
R_o+f(\theta)
\end{Bmatrix}
\end{equation*}\]
Agora, invertendo-se a matriz principal, vamos ter:
\[ \begin{equation*}
\begin{Bmatrix}
y\\
x
\end{Bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \text{sen}\,\theta\\
-\text{sen}\,\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
\begin{Bmatrix}
f'(\theta)\\
R_o+f(\theta)
\end{Bmatrix}
\end{equation*}\]
A qual, separando novamente os termos, vai nos fornecer:
\[ \begin{equation}
x=[(R_o+f(\theta)] \cos \theta -f'(\theta) \,\text{sen}\, \theta \\
y=[(R_o+f(\theta)] \,\text{sen}\, \theta+f'(\theta) \cos \theta
\end{equation}\]
Fique esperto:
A equação (13) permite a obtenção do contorno do came, de forma analítica parametrizada em \(\theta\) para o ângulo \(\theta\) variando de zero a \(2\pi\).
6. Exercícios
- Para um mecanismo do tipo came de mesa, o seguidor se eleva e retorna segundo a harmônica, o ângulo de elevação é igual ao de retorno. Verifique se há formação de canto vivo no contorno do came, considerando para o mesmo as equações paramétricas abaixo, considere ainda que o seguidor não tem repouso durante um ciclo completo.
\[ \begin{equation*}
\left \{
\begin{array}{ll}
x = 24 \cos \theta – 6& \\
y = 24 \,\text{sen}\, \theta&
\end{array}\right.
\end{equation*}\]
- Um came, com seguidor de mesa, figura 7, tem para contorno, uma circunferência de raio \(R\), e \(r\) para circunferência de base. Determine as expressões para a curva de elevação e as coordenadas cartesianas que definirão o contorno do came e, verifique ainda se haverá jerk durante o movimento do seguidor.
Figura 7 – Came de Mesa Circular.
- Um sistema de came com seguidor de mesa tem o seu ângulo de elevação e retorno iguais, tendo para elevação a “dupla harmônica” e para repouso a “ciclóide”, tem ainda um ângulo de 180o para repouso. Nestas condições, determine:
- A largura da mesa;
- O raio da circunferência de base;
- Valores de \(a\) e de \(b\) para que não haja engripamento, considerando \(\mu_1=0,2\) e \(\mu_2=0,05\).