Primeira Prova – MA

Questão 1

Quando fixamos duas barras adjacentes, estas duas se transformam em uma única barra (binária se juntarmos duas binárias, ternária se juntarmos uma binária e uma ternária ou quaternária, se juntarmos duas ternárias) , portanto o número total de barras passa a ser igual a n-1. Por outro lado, esta junção retira um par cinemático da cadeia, de formas que passaremos a ter j-1 pares cinemáticos na nova cadeia.

Sendo assim, para a nova cadeia, teremos:

\begin{cases} f\!\!\!\!&=3[(n-1)-1]-2(j-1) \\ &=3(n-1)-3-2j+2 \\ &=[3(n-1)-2j]-[1] \end{cases} \tag{1.1}

Notando que o primeiro termo, nos colchetes, tem valor unitário, de acordo com o enunciado do problema, vamos obter:

f=0 \tag{1.2}

E portanto, a nova cadeia é uma estrutura isostática.

Questão 2

Para esta questão, as equações de restrição serão:

\begin{cases} x\cos\theta+a\cos\varphi-b\!\!\!\!&=0 \\ x\,\text{sen}\,\theta-a\,\text{sen}\,\varphi&=0 \end{cases} \tag{2.1}

Eliminando x nas duas equações, vamos obter facilmente:

\varphi=\text{arcsen}(\frac{a}{b}\,\text{sen}\,\theta)-\theta \tag{2.2}

Após a obtenção de \(\varphi\), fica fácil obter x:

x=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\varphi} \tag{2.3}

Desenvolvendo as diferenciais na equação (2.1), vamos obter:

k_x=x\,\text{tg}\,(\theta+\varphi)

Consequentemente:

\dot x=x\dot\theta \,\text{tg}\,(\theta+\varphi) \tag{2.4}

Considerando o ponto do acoplador P e colocando a origem do sistema local sobre este e a do sistema global no par cinemático rotativo do pistão, figura 2.1 abaixo, vamos ter:

Figura 2.1
\begin{cases} x_p=-(a-x)\cos\theta \\ y_p=-(a-x)\,\text{sen}\,\theta \end{cases} \tag{2.5}

Logo:

\begin{cases} \dot x_p=\dot x\cos\theta-\dot\theta(x-a)\,\text{sen}\,\theta \\ \dot y_p=\dot x\,\text{sen}\,\theta+\dot\theta(x-a)\cos\theta \end{cases} \tag{2.5}

Quando \(\varphi\) for igual a 30o, teremos \(x=a\,\text{sen}\,30^o\), qual seja \(x=a/2\) e, pela equação 2.4:

\begin{cases} \dot x\!\!\!\!&=x\dot\theta \,\text{tg}\,(90^o+30^o) \\ &=\frac{a}{2}\dot\theta\,\text{tg}\,120^o \\ &=\frac{5\,cm}{2}(2\,rad/seg)(-\sqrt{3}) \\ &=-5\sqrt{3}\,cm/seg \end{cases}

E a equação 2.5 se transforma em:

\begin{cases} \dot x_p=-\dot\theta(x-a) \\ \dot y_p=\dot x \end{cases} \tag{2.6}

Ou:

\begin{cases} \dot x_p=-2(\frac{a}{2}-a)=2\frac{5}{2}=5\,cm/seg \\ \dot y_p=-5\sqrt{3}\,cm/seg \end{cases} \tag{2.6}

Compondo a raiz quadrada da soma dos quadrados \(\sqrt{\dot x_p^2+ \dot y_p^2 }\), vamos obter:

\left \| \dot {\mathbf{P}} \right \|=\sqrt{25+3*25}=\sqrt{100}

Finalmente, o resultado pedido será:

\left \| \dot {\mathbf{P}} \right \|=10\,cm/seg \tag{2.7}

Questão 3

As equações de restrição são:

\begin{cases} y\cos\varphi-a\cos\theta-d &\!\!\!=0 \\ y\,\text{sen}\,\varphi-a\,\text{sen}\,\theta &\!\!\!=0 \\ b\cos\varphi+c\cos\delta-x-d &\!\!\!=0 \\ b\,\text{sen}\,\varphi-c\,\text{sen}\,\delta&\!\!\!=0 \end{cases} \tag{3.1}

As duas primeiras linhas de 3.1 fornecem:

\varphi=\text{arctg}(\frac{a\,\text{sen}\,\theta}{d+a\cos\theta}) \tag{3.2}

A última linha:

\delta=\text{arcsen}(\frac{b}{c}\,\text{sen}\,\varphi) \tag{3.3}

Da terceira linha:

x=b\cos\varphi+c\cos\delta-d \tag{3.4}

Derivando 3.1, vamos obter:

\mathbf J=\left [ \begin{array}{rccr} -y\,\text{sen}\,\varphi & \cos\varphi & 0 & 0 \\ y\cos\varphi & \text{sen}\,\varphi & 0 & 0 \\ -b\,\text{sen}\,\varphi & 0 & -c\,\text{sen}\,\delta & -1\\ b\cos\varphi & 0 & -c\cos\delta & 0 \end{array} \right ] \quad \text{e}\quad \mathbf F=\begin{Bmatrix} \,\,\,\,\,a\,\text{sen}\,\theta\\ -a\cos\theta\\ 0 \\ 0 \end{Bmatrix}

E então:

\mathbf K=\begin{Bmatrix} \frac{a}{y}\cos(\theta-\varphi) \\ -a\,\text{sen}\,(\theta-\varphi) \\ \frac{ab}{cy}\frac{\cos\varphi\cos(\theta-\varphi)}{\cos\delta} \\ -\frac{ab}{y}\frac{\text{sen}\,(\delta+\varphi)\cos(\theta-\varphi)}{\cos\delta} \end{Bmatrix} \tag{3.5}

Ou seja:

k_x=-\frac{ab}{y}\frac{\text{sen}\,(\delta+\varphi)\cos(\theta-\varphi)}{\cos\delta} \tag{3.6}

Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais ao sistema:

\tau+Fk_x=0

Então:

\tau+\frac{ab}{y}\frac{\text{sen}\,(\delta+\varphi)\cos(\theta-\varphi)}{\cos\delta}F=0

Ou:

\tau=-\frac{ab}{y}\frac{\text{sen}\,(\delta+\varphi)\cos(\theta-\varphi)}{\cos\delta}F \tag{3.7}

Análise:

Sendo, na figura, \(\delta\)+\(\varphi\) menor que \(\pi\), teremos \(\text{sen}\,(\delta+\varphi)\) sempre positivo, assim como \(\cos\delta\), também é possível se perceber que para a posição mostrada a relação \(\theta-\varphi\) será menor que 90o e portanto o sinal de \(\cos(\theta-\varphi)\) será positivo, tudo isso trazendo como consequência um sinal negativo para \(\tau\) na equação 3.7, o que é consistente com a figura e posicionamentos das forças, ou seja o \(\tau\) terá que ser invertido para que ocorra o equilíbrio.