Gabarito Primeira Prova MM

1ª Questão

Para uma cadeia imposta com n barras e j pares cinemáticos, se tem:

3(n-1)-2j=1 \tag{1.1}

Considerando que a nova cadeia passará a ter \(n_{nova}=n-2\) e \(j_{nova}=j-2\), a quantidade de graus de liberdade desta nova cadeia será:

\begin{cases} f_{nova}&=3(n_{nova}-1)-2j_{nova} \\ &=3[(n-2)-1]-2(j-2) \\ &=3[n-1-2]-(2j-4)\\ &=3(n-1)-6-2j+4 \\ &=[3(n-1)-2j]-[2] \end{cases} \tag{1.2}

E, podemos notar que o primeiro termo (entre colchetes), na última linha de (1.2), é igual a 1, de acordo com a equação (1.1), logo o valor final da equação (1.2) será:

f_{nova}=-1

Sendo assim ela não é uma cadeia livre e sim uma estrutura hiperestática de grau 1. Portanto não fazendo sentido analisar uma variação para a mesma, pelo fato de ela não ser uma cadeia imposta.

2ª Questão

Considerando, provisoriamente, a coordenada auxiliar \(\varphi\) como na figura abaixo.

Figura 2.1

O sistema de coordenadas generalizadas será (\(\theta,\varphi\)) e a equação de restrição será:

\frac{a}{\text{sen}\,\varphi}=\frac{b}{\text{sen}\,(\theta-\frac{\pi}{2})}=\frac{b}{-\cos\theta}

Ou seja,

\text{sen}\,\varphi=-\frac{a}{b}\cos\theta \tag{2.1}

A partir de (2.1) podemos obter:

\cos\varphi=\pm\frac{1}{b}\sqrt{b^2-a^2\cos^2\theta}

E, considerando que o ângulo \(\varphi\) estará sempre entre -90o e +90o, vamos ficar com:

\cos\varphi=\frac{1}{b}\sqrt{b^2-a^2\cos^2\theta} \tag{2.2}

E uma diferenciação implícita da equação (2.1) vai fornecer:

k_\varphi=\frac{a}{b}\frac{\text{sen}\,\theta}{\cos\varphi} \tag{2.3}

Consequentemente:

\dot\varphi=\dot\theta\frac{\text{sen}\,\theta}{\sqrt{(b/a)^2-\cos^2\theta}} \tag{2.4}

Agora, considerando P, o ponto do acoplador, e colocando-se a origem do sistema local sobre este, vamos ter:

\begin{cases} x_p=b\,\text{sen}\,\varphi \\ y_p=a\,\text{sen}\,\theta+2b\cos\varphi \end{cases}

Considerando o valor para \(\text{sen}\,\varphi\) da equação (2.1):

\begin{cases} x_p=-a\cos\theta \\ y_p=a\,\text{sen}\,\theta+2b\cos\varphi \end{cases} \tag{2.5}

Derivando-se (2.5) em relação ao tempo:

\begin{cases} \dot x_p=a\dot\theta\,\text{sen}\,\theta \\ \dot y_p=a\dot\theta\cos\theta-2b\dot\varphi\,\text{sen}\,\varphi \end{cases}

Novamente, considerando o valor para \(\text{sen}\,\varphi\) da equação (2.1):

\begin{cases} \dot x_p=a\dot\theta\,\text{sen}\,\theta \\ \dot y_p=a(\dot\theta+2\dot\varphi)\cos\theta \end{cases} \tag{2.6}

E, uma análise da equação (2.6) mostra claramente que quando \(\theta\) for igual a 90o, se tem:

\begin{cases} \dot x_p=a\dot\theta \\ \dot y_p=0 \end{cases} \tag{2.7}

E quando \(\theta\) for igual a 180o, a equação (2.4) mostra que \(\dot\varphi\) é nulo, logo:

\begin{cases} \dot x_p=0 \\ \dot y_p=-a\dot\theta \end{cases} \tag{2.8}

3ª Questão

Equações de restrição:

\begin{cases} c\cos\beta+x\cos\varphi-a\cos\alpha – b&=&0 \\ c\,\text{sen}\,\beta+x\,\text{sen}\,\varphi-a\,\text{sen}\,\alpha&=&0 \end{cases} \tag{3.1}

Agora, isolando-se \(x\,\text{sen}\,\varphi\) na linha inferior e \(x\cos\varphi\), na linha superior e dividindo-se uma pela outra, vamos obter:

\varphi=\text{arctg}\,(\frac{a\,\text{sen}\,\alpha-c\,\text{sen}\,\beta}{b+a\cos\alpha-c\cos\beta}) \tag{3.2}

Também da segunda linha, é imediato que:

x=\frac{a\,\text{sen}\,\alpha-c\,\text{sen}\,\beta}{\text{sen}\,\varphi} \tag{3.3}

A partir da equação (3.1), vamos obter as matrizes \(\mathbf{F}_\alpha\), \(\mathbf{F}_\beta\) e \(\mathbf{J}\) e a partir destas teremos:

k_{\alpha\varphi}=\frac{a}{x}\cos(\alpha-\varphi) \quad \text{e} \quad k_{\beta\varphi}=-\frac{c}{x}\cos(\beta-\varphi)

E então:

\dot\varphi=\frac{a}{x}\dot\alpha\cos(\alpha-\varphi)-\frac{c}{x}\dot\beta\cos(\beta-\varphi) \tag{3.4}

Verificando agora que o deslocamento horizontal do ponto de aplicação da força \(\mathbf{F}\) pode ser dado por:

z=c\cos\beta+b\cos\varphi \tag{3.5}

teremos:

\begin{cases} \dot z&=-c\dot\beta\,\text{sen}\,\beta-b\dot\varphi\,\text{sen}\,\varphi \\ &=-c\dot\beta\,\text{sen}\,\beta-b(\frac{a}{x}\dot\alpha\cos(\alpha-\varphi)-\frac{c}{x}\dot\beta\cos(\beta-\varphi))\,\text{sen}\,\varphi \\ &=-c\dot\beta\,\text{sen}\,\beta-\frac{ab}{x}\dot\alpha\cos(\alpha-\varphi)\,\text{sen}\,\varphi+\frac{cb}{x}\dot\beta\cos(\beta-\varphi)\,\text{sen}\,\varphi \\ &=c\dot\beta(\frac{b}{x}\cos(\beta-\varphi)\,\text{sen}\,\varphi-\text{sen}\,\beta)-\frac{ab}{x}\dot\alpha\cos(\alpha-\varphi)\,\text{sen}\,\varphi \end{cases}

Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais à cadeia, vamos ter:

\tau\dot\alpha+\tau\dot\beta+F\dot z=0

ou seja:

\tau(\dot\alpha+\dot\beta)-F\left [c\dot\beta(\frac{b}{x}\cos(\beta-\varphi)\,\text{sen}\,\varphi-\text{sen}\,\beta)-\frac{ab}{x}\dot\alpha\cos(\alpha-\varphi)\,\text{sen}\,\varphi \right]=0

Assim:

\tau(\dot\alpha+\dot\beta)=\left [c\dot\beta(\frac{b}{x}\cos(\beta-\varphi)\,\text{sen}\,\varphi-\text{sen}\,\beta)-\frac{ab}{x}\dot\alpha\cos(\alpha-\varphi)\,\text{sen}\,\varphi \right]F

Verificando que \(\dot\alpha=\dot\beta\), vamos ter finalmente:

\tau=\frac{b}{2x}\left [c(\cos(\beta-\varphi)\,\text{sen}\,\varphi-\frac{x}{b}\,\text{sen}\,\beta)-a\cos(\alpha-\varphi)\,\text{sen}\,\varphi \right]F \tag{3.6}