7.1. Espessura do Dente
A determinação da espessura, em qualquer ponto do dente, ou mais especificamente para um raio de circunferência compreendido entre os raios da circunferência de pé e de cabeça, tem grande importância no estudo de sua geometria, mas principalmente no dimensionamento das engrenagens, onde a teoria se baseia na resistência do dente, considerando-o como se fosse uma viga engastada e, portanto, utilizando as áreas de todas as seções para o cálculo, como a profundidade do dente \(b\) é conhecida, há que se determinar a espessura em cada ponto para que se possa fazer este cálculo.
Antes de dar prosseguimento à obtenção da espessura, vejamos na figura 7.1 a obtenção do valor do ângulo \(\beta\) entre um ponto qualquer B da evolvente e o ponto C, que é a intersecção desta com a curva primitiva. No capítulo 4, “A Evolvente de Círculo”, vimos que a equação 4.4 fornecia o valor do ângulo \(\beta\) que, aplicado a este caso seria:
\begin{equation}
\beta=\text{ev}(\alpha)-\text{ev}(\delta) \tag{7.1}
\end{equation}
Figura 7.1 – Ângulo \(\beta\) entre dois pontos.
OBS.
Note que, quando o ponto C está sobre a circunferência primitiva, o ângulo \(\measuredangle COD\) é, na verdade oângulo de pressão \(\alpha\) e isto pode ser entendido pelo diagrama da “cinemática do engrenamento”.
Passemos agora ao cálculo da espessura do dente, tendo em mente que sobre a circunferência primitiva, esta espessura (\(e_r\) na figura 7.2) é normalizada como sendo a metade do valor do passo. Nosso objetivo aqui será a determinação da espessura \(e_\rho\), arco \(\stackrel{\frown}{BB’}\) cujo raio é \(\rho\).
Figura 7.2 – Espessura do Dente.
Pela figura 7.2, como o ponto A situa-se sobre a circunferência primitiva, o valor de \(\beta\) será \(\text{ev}(\alpha)-\text{ev}(\delta)\) e, podemos ver que o ângulo \(\measuredangle BOB’\) é exatamente a soma \(\gamma+2\beta\), mas sendo \(\gamma\) o ângulo que abarca meio passo, ele será igual a:
\begin{equation*}
\gamma=\frac{\frac{p}{2}}{r}=\frac{m\pi}{2r}=\frac{m\pi}{m z}
\end{equation*}
Ou seja:
\begin{equation}
\gamma=\frac{\pi}{z} \tag{7.2}
\end{equation}
Desta forma,usando a equação 7.2 para o valor de \(\gamma\) e a eqação 7.1 para o valor de \(\beta\), vamos ter:
\begin{equation*}
\gamma+2\beta=\frac{\pi}{z}+2[\text{ev}(\alpha)-\text{ev}(\delta)]
\end{equation*}
Agora, passado ao valor do arco:
\begin{equation*}
e_\rho=\rho(\gamma+2\beta)
\end{equation*}
Poderemos escrever, finalmente:
\begin{equation}
\boxed{ \color{green}{ e_\rho=\rho\{\frac{\pi}{z}+2[\text{ev}(\alpha)-\text{ev}(\delta)]\} } } \tag{7.3}
\end{equation}
7.1.1. Cálculo de \(\delta\)
O ângulo \(\alpha\) é normalizado e os seus principais valores podem ser obtidos da tabela 6.1, muito embora na prática o valor mais comum seja \(\alpha=20^o\), já o ângulo \(\delta\) vai depender do raio (\(\rho\) na figura 7.2) do arco \(e_\rho\). Assim, na figura 7.1 podemos ver que:
\begin{equation*}
\overline{OB}\cos \delta = \overline{OE} = r_b
\end{equation*}
Onde \(r_b\) é o raio da circunferência de base. Desta forma, podemos obter então o ângulo \(\delta\), pela expressão:
\begin{equation}
\boxed{\color{green}{ \delta=\text{arccos}\frac{r_b}{\rho} }} \tag{7.4}
\end{equation}
Fique Ligado:
Os ângulos \(\alpha\) e \(\delta\) das equações 7.3 e 7.4, são tomados em radianos.
7.2. Grau de Recobrimento
O grau de recobrimento especifica uma média da quantidade de pares de dentes em contato em determinado intervalo de tempo e é de fundamental importância no projeto de engrenagens, pois ele interfere diretamente na resistência do dente, vibração e ruído e, é claro, quanto maior o for, menor será o ruído gerado e melhor resistência. Antes de iniciarmos os estudos vamos entender, com base na animação 7.1 abaixo, que o contato entre dentes se dá através da linha de ação e apenas dentro da área definida pela intersecção dos dois círculos de cabeça (lembrem-se, círculo denota a área limitada pela circunferência).
Animação 7.1 – Contato sobre a linha de ação entre as circunferências de cabeça.
Note bem:
Na animação acima, um dente do pinhão inicia o contato com um dente da coroa no cruzamento da circunferência de cabeça da coroa com a linha de ação e termina no cruzamento da circunferência de cabeça do pinhão com a linha de ação.
O grau de recobrimento é definido em função da razão entre o percurso de contato, segmento \(\overline{AB}\), pelo passo base, segmento \(\overline{EF}\), veja na figura 7.3, onde o percurso de contato é o comprimento na linha de ação compreendido entre o início e o fim do engrenamento, pontos A e B, também denominado duração de engrenamento e o passo base, que é também o passo circular medido ao longo da circunferência de base, vamos entender isto mais adiante. O grau de recobrimento define quantos dentes estarão em contato durante o ciclo de engrenamento.
Desta forma, o grau de recobrimento é definido por:
\[
\text{grau de recobrimento = } \frac{ \text{percurso de contato} }{ \text{passo base} }
\]
Figura 7.3 – Definição do grau de recobrimento.
Ou, mais especificamente:
\begin{equation}
\LARGE \varepsilon \normalsize= \frac{\overline{AB}}{\overline{EF}} \tag{7.5}
\end{equation}
Pela equação 7.5, concluímos que o grau de recobrimento deve ser sempre maior que um, para não prejudicar a continuidade do movimento na transmissão, pois se assim não o fosse teríamos o ponto E ou o ponto F, ou ainda ambos, externos ao segmento \(\overline{AB}\), o que seria um absurdo, pois não há possibilidade de contato de dente fora desta faixa. Em outras palavras, se o percurso de contato for menor que o passo base, terminada a ação de um dente, não haverá outro em contato no mesmo instante e, provavelmente o pinhão se adiantará à coroa promovendo o choque de um dente da coroa na cabeça do dente do pinhão.
E são estes dois valores \(\overline{EF}\) e \(\overline{AB}\) que iremos determinar em nosso estudos a seguir.
7.2.1. Obtenção do Passo Base
A figura 7.4 mostra a distância que compreende o passo base na cor verde sobre a linha de ação, segmento \(\overline{EF}\) e também o seu correspondente sobre a circunferência de base, arco \(\stackrel{\frown}{E’F’}\). Pelas propriedades da evolvente o segmento \(\overline{H_2E}\) é igual ao arco \(\stackrel{\frown}{H_2E’}\), como também o segmento \(\overline{H_2F}\) é igual ao arco \(\stackrel{\frown}{H_2F’}\), e com isto, podemos concluir que o arco \(\stackrel{\frown}{F’E’}\) é igual ao segmento \(\overline{FE}\). E então, só nos resta obter o valor do arco \(\stackrel{\frown}{F’E’}\) para termos o passo base. Note também que o arco \(\stackrel{\frown}{F’E’}\) é na verdade a distância, sobre a circunferência de base, entre dos dentes consecutivos, daí o nome “passo base”.
Figura 7.4 – Determinação do passo base.
Perceba que se a engrenagem tem z dentes, então a quantidade de arcos \(\stackrel{\frown}{F’E’}\), sobre a circunferência de base é igual a z, log o ângulo compreendido pelo arco \(\stackrel{\frown}{F’E’}\) é:
\begin{equation*}
\gamma=\frac{2\pi}{z}
\end{equation*}
E, então:
\begin{align*}
\stackrel{\frown}{F’E’} &= r_b\gamma\\
&= \frac{2\pi}{z}r_b \\
&=\frac{2\pi}{z}r\cos \alpha\\
&=\frac{2\pi r}{z}\cos \alpha
\end{align*}
Porém \(\frac{2\pi r}{z}\) é igual ao passo, logo:
\begin{equation*}
\stackrel{\frown}{F’E’} = p\cos\alpha
\end{equation*}
E, finalmente:
\begin{equation}
\overline{EF} = p\cos\alpha \tag{7.6}
\end{equation}
7.2.2. Obtenção do Percurso de Contato
Pela figura 7.5, vemos que o percurso de contato é igual à soma dos comprimentos a e b. Vamos calcular inicialmente o valor de a, notando que \(r_{a_2}^2=r_{b_2}^2+(\overline{H_2I}+a)^2\).
Figura 7.5 – Obtenção do percurso de contanto.
Ou seja:
\begin{equation*}
r_{a_2}^2=r_{b_2}^2+ (r_2 \text{sen}\,\alpha+a)^2
\end{equation*}
Então:
\begin{equation*}
r_2 \text{sen}\,\alpha+a=\sqrt {r_{a_2}^2-r_{b_2}^2}
\end{equation*}
Do que, obtemos então para valor de a:
\begin{equation}
\color{red}{a}=\sqrt {r_{a_2}^2-r_{b_2}^2} – r_2 \text{sen}\,\alpha \tag{7.7}
\end{equation}
Por analogia, efetuando o mesmo procedimento para o valor de b, vamos obter:
\begin{equation}
\color{green}{b}=\sqrt {r_{a_1}^2-r_{b_1}^2} – r_1 \text{sen}\,\alpha \tag{7.8}
\end{equation}
E, sendo o percurso de contato igual a a mais b, teremos:
\begin{equation}
\overline{AB}=\sqrt {r_{a_2}^2-r_{b_2}^2} + \sqrt {r_{a_1}^2-r_{b_1}^2} – ( r_1+r_2)\text{sen}\,\alpha \tag{7.9}
\end{equation}
7.2.3. Obtenção do Grau de Recobrimento
E, finalmente, como consequência da equação 7.5, juntamente com as equações 7.6 e 7.9, vamos ter a expressão final para o grau de recobrimento dada na forma:
\begin{equation}
\boxed{\color{green}{\LARGE \varepsilon \normalsize=\frac{ \sqrt {r_{a_2}^2-r_{b_2}^2} + \sqrt {r_{a_1}^2-r_{b_1}^2} – ( r_1+r_2)\text{sen}\,\alpha }{p \cos\alpha}}}\tag{7.10}
\end{equation}
Um melhor entendimento desta relação nos é fornecido por Mazzo, N., Engrenagens cilíndricas – da concepção à fabricação. 2ª edição. São Paulo: Blucher, 2013, Ele afirma que o grau de recobrimento de perfil indica a quantidade de dentes engrenados simultaneamente durante o ciclo de engrenamento. Exemplificando: se o grau de recobrimento de perfil de um par engrenado é 1,80, então, dois pares de dentes estarão em contato 80
No geral, é recomendável que o grau de recobrimento de perfil não seja inferior a 1,40, mas uma redução no nível de ruído e um acréscimo na capacidade de carga podem ser conseguidos com um grau de recobrimento de perfil = 2,00, no entanto não é fácil obter essa condição, pois ela depende das características geométricas das rodas, tais como número, tamanho (módulo) e altura dos dentes, entre outras. A maioria das aplicações automotivas possui grau de recobrimento de perfil entre 1,60 e 2,00.
7.3. Exercícios
- Para uma engrenagem com 20 dentes, \(\alpha=20^o\) e módulo 3, determine a espessura do dente na cabeça e no pé.
- Para \(\alpha=20^o\), a partir de quantos dentes podemos garantir que a circunferência de pé estará abaixo da circunferência de base?
- Encontre uma expressão, utilizando condicional, que forneça a espessura do dente em qualquer ponto \(r_f \leq \rho \leq r_a\).
- Com base na mesma ideia utilizada para a obtenção da espessura do dente, determine a espessura de vazio \(e_{\rho_v}\), considerando que a norma especifica \(e_{r_v}\), vazio sobre a circunferência primitiva, igual à metade do passo, figura 7.6.
Figura 7.6 – Espessura de vazio.
- O método de Wildhaber, também conhecido como medição \(W_k\), para a obtenção do módulo de uma engrenagem cilíndrica reta, consiste em se medir, com um micrômetro de precisão, figura 7.7, a distância entre \(k\) dentes. Em função do número total de dentes \(z\), do ângulo de pressão \(\alpha\) e do número de dentes entre as orelhas \(k\), mostre que o módulo, em função da leitura \(W_k\) no micrômetro será:
\begin{equation*}
m=\frac{W_k}{[\pi(k-\frac 12)+z\,\text{ev}(\alpha)]\cos\alpha}
\end{equation*}
Figura 7.7 – Medição de Wildhaber.
- Considerando o enunciado do problema anterior, mostre que o módulo também pode ser obtido por:
\begin{equation*}
m=\frac{W_{k+1}-W_k}{\pi\cos\alpha}
\end{equation*}
- Já se sabe que a distância consecutiva entre dois dentes sobre a circunferência primitiva é igual ao passo, agora determine a distância consecutiva entre dois dentes, para um raio \(\rho\), fora da circunferência primitiva.
- Duas curvas evolventes se interceptam conforme mostrado na Figura 7.8. O raio da circunferência de base é de 127 mm e, em um raio \(\rho\)=145 mm, a espessura circular \(e_\rho\) é de 29,718 mm. Em qual o valor do raio para o qual as duas curvas se encontram?
Figura 7.8 – Evolventes se interceptando.
- Um engrenamento com 32 dentes no pinhão e 41 dentes na coroa tem módulo 2,5. Calcule o grau de recobrimento do sistema.
- Um par pinhão coroa tem 1,25 para grau de recobrimento, mostre que, para este caso, se tem em 40
- Considere um par que tem 38 dentes na coroa e 27 dentes no pinhão, com um ângulo de pressão 25o. Para cada engrenagem, calcular o raio da circunferência de base, o raio da circunferência primitiva, a distância entre centros e o grau de recobrimento, considerando:
- Norma AGMA, com passo diametral de 16 dentes por polegada;
- norma ISO, com módulo de 1,5 mm
- Para os dois engrenamentos da questão anterior, determine o ângulo de pressão real, o grau de recobrimento e o jogo primitivo se as engrenagens são montadas com um aumento de 1