5.1. Termos Básicos
Como vimos na abordagem sobre as curvas evolventes, após escolhermos os perfis que irão se conjugar, nós poderemos ter a engrenagem definida como na figura 5.1, porém há que se definir alguns termos para que possamos entender bem os diversos componentes das engrenagens e as expressões delas advindas.
Figura 5.1 – Nomenclatura básica
Com base nesta figura nós podemos determinar:
- Diâmetro primitivo (d) – É o diâmetro principal da engrenagem e é a partir dele que são tomadas algumas medidas e formadas as principais expressões matemáticas;
- Diâmetro de cabeças (da) – Diâmetro que abarca o topo dos dentes, é o maior diâmetro da engrenagem;
- Diâmetro de pé (df) – Menor diâmetro da engrenagem, é o que abarca o fundo dos dentes;
- Diâmetro de base (db) – Como já visto é o diâmetro que serve de base para a geração das evolventes que formam o perfil dos dentes;
- Passo circular (p) – Tomado sobre a circunferência primitiva, mede a distância consecutiva entre dois dentes;
- Altura do dente (h) – distância do topo à base do dente;
- Altura de cabeça (ha) – Distância que vai da circunferência primitiva ao topo do dente;
- Altura de pé (hf) – Distância que vai da circunferência primitiva ao fundo do dente;
- Folga do dente (c) – Espaço entre a cabeça do dente da coroa até a base do pinhão.
A figura 5.2, a seguir, nos mostra alguns dentes em três dimensões para que possamos enxergar mais alguns elementos relativos ao perfil do dente.
Figura 5.2 – Dentes em três dimensões.
E ai podemos enumerar mais alguns itens não mostrados na figura anterior:
- Espessura do dente (b) – Representa a profundidade da engrenagem;
- Face do dente – Superfície lateral superior do dente;
- Flanco do dente – Superfície lateral inferior do dente;
- Fundo do dente – É a superfície no pé do dente.
5.2. Normalização
A partir de determinada escolha de curvas a serem utilizadas como par conjugado, e de diâmetros consistentes com o projeto para o pinhão e a coroa se faz necessária a escolha de uma altura de dente \(h_a\), passo \(p\) e demais características da engrenagem como visto acima. A esse respeito os sistemas de padronização vêm nos auxiliar na determinação da geometria correta, não só permitindo a intercambialidade correta, como também assegura que a indústria possa comercializar em larga escala. Especificamente para a geometria de engrenagens cilíndricas, retas e helicoidais, com base na evolvente, temos a norma DIN 867 que toma como base o “módulo” no sistema métrico ou o “diametral pitch” no sistema Inglês.
Imaginemos então uma engrenagem qualquer que tenha uma quantidade \(z\) de dentes, diâmetro primitivo \(d\) e passo \(p\), então será válida a relação:
\begin{equation*}
pz=\pi d\quad \Leftrightarrow \quad d=\frac{p}{\pi}z
\end{equation*}
Os sistemas de normalização tomam a razão do passo pelo valor \(\pi\) ou o inverso dela para definição do “módulo” ou do “Diametral pitch”, respectivamente.
\begin{equation}
m=\frac{p}{\pi} \tag{5.1}
\end{equation}
\begin{equation}
P_d=\frac{\pi}{p} \tag{5.2}
\end{equation}
É claro, se for no sistema métrico, esta razão é tomada em milímetros e se for no sistema Inglês ela será o inverso da polegada.
OBS:
Enquanto no sistema métrico se define o módulo como sendo a razão entre o passo por \(\pi\), no sistema Inglês, se define o Diametral pitch como sendo a razão entre o número de dentes pelo diâmetro primitivo, \(P_d=\frac{z}{d}\).
5.2.1. Sistema Modular
Neste sistema, o módulo vai relacionar a altura de cabeça através de uma constante k, de forma que \(h_a=km\), sendo a unidade e \(0,8\), os valores mais comuns de k, quando \(k=0,8\) diz que a engrenagem é rebaixada. Vejamos então o desenvolvimento da norma com \(k=1\), começando com os valores da altura de cabeça, de pé e etc.
\[\begin{align}
h_a &= m \tag{5.3} \\
h_f &= \frac{5}{4}m =1,25m \tag{5.4}\\
h &= h_a+h_f = 2,25m \tag{5.5}\\
c &= \frac{1}{4}m = 0,25m \tag{5.6}
\end{align}\]
Tem-se ainda, como consequência da definição de módulo:
\[\begin{align}
p &= m\pi \tag{5.7}\\
d &= mz \tag{5.8}\\
d_a &= d+2h_a=m(z+2) \tag{5.9}\\
d_f &= d-2h_f=m(z-4,5) \tag{5.10}\\
d_b &= d\cos \alpha \tag{5.11}
\end{align}\]
Sendo a última, equação (5.11), obtida da relação de geometria vista na “cinemática do engrenamento”.
Se considerarmos o par pinhão coroa, é de praxe enumerarmos os dois, fornecendo o valor \(1\) para o pinhão e o valor \(2\) para a coroa, indexando todos os valores que digam respeito à estes e que não sejam comuns. como exemplo de valores comuns, temos o próprio módulo, é claro, e o passo. Neste caso, nós teríamos para a distância entre centros:
\begin{equation}
C=\frac{d_1+d_2}{2} \tag{5.12}
\end{equation}
5.2.2. Tabela de Módulos
De acordo com a norma DIN 780, os módulos a serem utilizados, tanto no projeto de engrenagens, quanto na indústria de fabricação, considerando-se as fresas que irão gerar o perfil do dente, devem ser tomados de acordo com a tabela abaixo:
| Módulo (mm) | Incremento (mm) |
|---|---|
| 0,3 a 1,0 | 0,10 |
| 1,0 a 4,0 | 0,25 |
| 4,0 a 7,0 | 0,50 |
| 7,0 a 16,0 | 1,00 |
| 16,0 a 24,0 | 2,00 |
| 24,0 a 45,0 | 3,00 |
| 45,0 a 75,0 | 5,00 |
Tabela 5.1 – Faixa de módulos normalizados
Assim, por exemplo na faixa de 4 a 7, podemos ter os valores 4,0, 4,5, 5,0, 5,5, 6,0 ou 6,5 para módulo, mas não poderíamos utilizar, por exemplo, um módulo de 5,75, principalmente porque não iríamos ter fresa para fabricar esta engrenagem e nem poderíamos comprá-la pronta, se assim determinasse o projeto.
5.3. Exercícios
- Determinada engrenagem tem módulo de 5 mm, determine o diametral pitch para esta engrenagem e, de forma inversa um diametral pitch de 5 pol-1, teria que módulo.
- Explique porque duas engrenagens que se conjugam têm que ter, necessariamente, o mesmo módulo, ainda que este não seja padronizado.
- Com base na expressão para o diâmetro primitivo em função do módulo, equação (5.8), como fica a relação de transmissão?
- Qual é a expressão para a distância entre centros em função do módulo e do número de dentes do pinhão e da coroa?
- Um par pinhão coroa, cuja relação de transmissão é \(\varphi_{12}=0,8\), tem 24 dentes no pinhão, sendo o ângulo de pressão \(\alpha=20^\text{o}\) e o módulo \(m=2,5\), determine:
- Os diâmetros primitivos e de base do pinhão e coroa;
- As alturas de cabeça, de pé e o passo;
- A distância entre centros;
- O diametral pitch deste conjunto.
- Determinado par de engrenagens externo-externo tem \(z_1=18\) e \(z_2=21\) para quantidade de dentes e após a montagem observou-se que a distância entre centros foi aumentada em relação à distância nominal mas o mecânico não consegui medir esta distância por não dispor de ferramenta de medição apropriada, porém, encaixando as orelhas de um paquímetro, ele consegui medir a distância entre a circunferência de cabeça da coroa para a circunferência de pé do peão, fornecendo o valor de \(2,42\, mm\). Determine qual é o módulo do sistema.
- Em uma engrenagem que tem \(\alpha=20^o\) e um diâmetro primitivo de \(30\,mm\), o projetista chegou à conclusão que a espessura no pé do dente, para que esta resista aos esforços, tem que ser de \(3\,mm\). Determine o módulo e a quantidade de dentes, sabendo-se que nesta engrenagem existem trechos não evolventais.
- O método de Wildhaber, também conhecido como medição \(W_k\), para a obtenção do módulo de uma engrenagem cilíndrica reta, consiste em se medir, com um micrômetro de precisão, figura 5.3, a distância entre \(k\) dentes. Em função do número total de dentes \(z\), do ângulo de pressão \(\alpha\) e do número de dentes entre as orelhas \(k\), mostre que o módulo, em função da leitura \(W_k\) no micrômetro será:
\[ \begin{equation*}
m=\frac{W_k}{[\pi(k-\frac 12)+z\,\text{ev}(\alpha)]\cos\alpha}
\end{equation*} \]
